Фразеологизм — это устойчивое выражение внутри предложения: “спустя рукава”, “водить за нос”.
Пословица — это отдельная законченная мысль: “Без труда не выловишь и рыбку из пруда”.

Они близки. Поговорка часто тоже работает как вставка в речь и не всегда имеет вывод. Иногда граница размыта: главное — поговорка звучит “по-народному” и обычно короче.

Это фраза, которая “разлетелась” из конкретного источника: книги, фильма, истории. Люди её цитируют, и она становится частью языка.

Цитата обычно имеет автора. Пословица — народная, без автора, и существует в нескольких вариантах.